\documentclass{article} \usepackage{german} \usepackage{t1enc} \usepackage[latin1]{inputenc} \begin{document} \section {Vierpol-Theorie} \subsection{Matrizen zur Beschreibung von Vierpolen} \subsubsection{Kettenmatrix A} Die Kettenmatrix wird benötigt um die Serienschaltung von Vierpolen zu berechen. Für sie gilt: \begin{displaymath} \left(\begin{array}{c} U_1 \\ I_1 \end{array}\right) = A \cdot \left(\begin{array}{c} U_2 \\ I_2 \end{array}\right) \end{displaymath} \subsubsection{Widerstandsmatrix Z} \begin{displaymath} \left(\begin{array}{c} U_1 \\ U_2 \end{array}\right) = Z \cdot \left(\begin{array}{c} I_1 \\ I_2 \end{array}\right) \end{displaymath} \subsubsection{Leitwertmatrix Y} \begin{displaymath} \left(\begin{array}{c} I_1 \\ I_2 \end{array}\right) = Y \cdot \left(\begin{array}{c} U_1 \\ U_2 \end{array}\right) \end{displaymath} \subsubsection{Hybridmatrix H} \begin{displaymath} \left(\begin{array}{c} U_1 \\ I_2 \end{array}\right) = H \cdot \left(\begin{array}{c} I_1 \\ U_2 \end{array}\right) \end{displaymath} \subsubsection{Serienparallelmatrix C} \begin{displaymath} \left(\begin{array}{c} I_1 \\ U_2 \end{array}\right) = C \cdot \left(\begin{array}{c} I_2 \\ U_1 \end{array}\right) \end{displaymath} \subsection{Konvertierung von Vierpolmatrizen} \begin{tabular}[t]{|c||c|c|c|c|c|} \hline a & A & Z & Y & H & C \\ \hline\hline A & \( \left(\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right) \) & \( \frac{1}{z_{21}} \cdot \left(\begin{array}{cc} z_{11} & det(Z) \\ 1 & z_{22} \end{array}\right) \) & \( -\frac{1}{y_{21}} \cdot \left(\begin{array}{cc} y_{22} & 1 \\ det(Y) & y_{11} \end{array}\right) \) & \( -\frac{1}{h_{21}} \cdot \left(\begin{array}{cc} det(H) & h_{11} \\ h_{22} & 1 \end{array}\right) \) & \( \frac{1}{c_{22}} \cdot \left(\begin{array}{cc} 1 & -c_{21} \\ det(C) & c_{12} \end{array}\right) \) \\[10pt] \hline Z & \raisebox{-6pt}{\( \frac{1}{a_{21}} \cdot \left(\begin{array}{cc} a_{11} & det(A) \\ 1 & a_{22} \end{array}\right) \)} & \( \left(\begin{array}{cc} z_{11} & z_{12} \\ z_{21} & z_{22} \end{array}\right) \) & \( -\frac{1}{det(Y)} \cdot \left(\begin{array}{cc} y_{22} & -y_{12} \\ -y_{21} & y_{11} \end{array}\right) \) & \( -\frac{1}{h_{22}} \cdot \left(\begin{array}{cc} det(H) & h_{12} \\ -h_{21} & 1 \end{array}\right) \) & \( \frac{1}{c_{12}} \cdot \left(\begin{array}{cc} 1 & -c_{11} \\ c_{22} & -det(C) \end{array}\right) \) \\[10pt] \hline Y & \( \frac{1}{a_{12}} \cdot \left(\begin{array}{cc} a_{22} & -det(A) \\ -1 & a_{11} \end{array}\right) \) & \( \frac{1}{det(Z)} \cdot \left(\begin{array}{cc} z_{22} & -z_{12} \\ -z_{21} & z_{11} \end{array}\right) \) & \( \left(\begin{array}{cc} y_{11} & y_{12} \\ y_{21} & y_{22} \end{array}\right) \) & \( -\frac{1}{h_{11}} \cdot \left(\begin{array}{cc} 1 & -h_{12} \\ h_{21} & det(H) \end{array}\right) \) & \( \frac{1}{c_{21}} \cdot \left(\begin{array}{cc} -det(C) & c_{11} \\ -c_{22} & 1 \end{array}\right) \) \\[10pt] \hline H & \( \frac{1}{a_{22}} \cdot \left(\begin{array}{cc} a_{12} & det(A) \\ -1 & a_{11} \end{array}\right) \) & \( \frac{1}{z_{22}} \cdot \left(\begin{array}{cc} det(Z) & z_{12} \\ -z_{21} & 1 \end{array}\right) \) & \( \frac{1}{y_{11}} \left(\begin{array}{cc} 1 & -y_{12} \\ y_{21} & det(Y) \end{array}\right) \) & \( \left(\begin{array}{cc} h_{11} & h_{12} \\ h_{21} & h_{22} \end{array}\right) \) & \( \frac{1}{det(C)} \cdot \left(\begin{array}{cc} -c_{21} & c_{11} \\ c_{22} & -c{12} \end{array}\right) \) \\[10pt] \hline C & \( \frac{1}{a_{11}} \cdot \left(\begin{array}{cc} -det(A) & a_{21} \\ a_{12} & 1 \end{array}\right) \) & \( \frac{1}{z_{11}} \cdot \left(\begin{array}{cc} -z_{12} & 1 \\ -det(Z) & z_{21} \end{array}\right) \) & \( \frac{1}{y_{22}} \left(\begin{array}{cc} y_{12} & det(Y) \\ 1 & -y_{21} \end{array}\right) \) & \( \frac{1}{det(H)} \left(\begin{array}{cc} -h_{12} & h_{22} \\ h_{11} & -h_{21} \end{array}\right) \) & \( \left(\begin{array}{cc} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{array}\right) \) \\[10pt] \hline \end{tabular} \subsection{Schaltungen mit Vierpolen} \subsubsection{Kettenschaltung} Für die Gesamtmatrix $ A_{gesamt} $ einer Kettenschaltung von $ n $ Vierpolen gilt: \begin{displaymath} A_{gesamt} = \prod_{i=1}^{n}A_{i} \end{displaymath} \subsubsection{Parallelschaltung} Für die Gesamtmatrix $ Y_{gesamt} $ einer Parallelschaltung von $ n $ Vierpolen gilt: \begin{displaymath} Y_{gesamt} = \sum_{i=1}^{n} Y_{i} \end{displaymath} \subsubsection{Serienschaltung der Eingänge und Ausgänge} Falls zwischen zwei Vierpolen, bei welchen die Ein- bzw. Ausgänge in Serie geschalten sind, kein Ausgleichsstrom $\Delta I$ fließt gilt: \begin{displaymath} Z_{gesamt} = Z_{1} + Z_{2} \end{displaymath} \subsection{Eingangswiderstand eines Vierpols} Der Eingangswiderstand eines Vierpols ist $ R_{in} = \frac{U_{in}}{I_{in}} $ \begin{itemize} \item{mit Kettenmaix $ A = \left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right) $ gilt:} \begin{displaymath} R_{in} = \frac{a_{11} \cdot R_{L} + a_{12}} {a_{21} \cdot R_{L} + a_{22}} \end{displaymath} \item{mit Widerstandsmatrix $Z = \left( \begin{array}{cc} z_{11} & z_{12} \\ z_{21} & z_{22} \end{array} \right) $ gilt:} \begin{displaymath} R_{in} = \frac{z_{11} \cdot R_{L} + det(Z)} {R_{L} + z_{22}} \end{displaymath} \item{mit Leitwertmatrix $Y =\left( \begin{array}{cc} y_{11} & y_{12} \\ y_{21} & y_{22} \end{array} \right) $ gilt:} \begin{displaymath} R_{in} = \frac{y_{22} \cdot R_{L} - 1} {det(Y) \cdot R_{L} - y_{11}} \end{displaymath} \item{mit Hybridmatrix $H =\left( \begin{array}{cc} h_{11} & h_{12} \\ h_{21} & h_{22} \end{array} \right) $ gilt:} \begin{displaymath} R_{in} = \frac{det(H) \cdot R_{L} - h_{11}} {h_{22} \cdot R_{L} - 1} \end{displaymath} \end{itemize} \subsection{Übertragungsfunktion und Leistungskoeffizient eines Vierpols} Die Übertragungsfunktionen eines Vierpols sind zum einen $F(\omega) = \frac{U_{out}}{U_{in}}$ und zum andern $G(\omega) = \frac{I_{out}}{I_{in}}$. Als Leistungskoeffizient ergibt sich dann das Produkt von $F$ und $G$ als $P(\omega) = \frac{U_{out} \cdot I_{out}}{U_{in} \cdot I_{in}}$. \begin{itemize} \item{mit Kettenmaix $ A = \left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right) $ gilt:} \begin{eqnarray*} F(\omega) &=& \frac{R_{L}}{a_{11} \cdot R_{L} + a_{12}} \\ G(\omega) &=& \frac{1}{a_{21} \cdot R_{L} + a_{22}} \\ P(\omega) &=& \frac{R_{L}} {a_{11}\overline{a_{21}} \cdot \left| R_{L} \right|^{2} + a_{11}\overline{a_{22}} \cdot R_L + a_{12}\overline{a_{21}} \cdot \overline{R_L} + a_{12}\overline{a_{22}}} \end{eqnarray*} \item{mit Widerstandsmatrix $Z = \left( \begin{array}{cc} z_{11} & z_{12} \\ z_{21} & z_{22} \end{array} \right) $ gilt:} \begin{eqnarray*} F(\omega) &=& \frac{z_{21} \cdot R_{L}}{det(Z) + z_{11} \cdot R_{L}} \\ G(\omega) &=& \frac{z_{21}}{R_{L} + z_{22}} \\ P(\omega) &=& \frac{\left|z_{21}\right|^2 \cdot R_{L}} {z_{11} \cdot \left|R_{L}\right|^2 + z_{11}\overline{z_{22}} \cdot R_L + det(Z)\overline{R_L} + det(Z)\overline{z_{22}}} \end{eqnarray*} \item{mit Leitwertmatrix $Y =\left( \begin{array}{cc} y_{11} & y_{12} \\ y_{21} & y_{22} \end{array} \right) $ gilt:} \begin{eqnarray*} F(\omega) & = & - \frac{y_{21} \cdot R_{L}} {y_{22} \cdot R_{L} + 1} \\ G(\omega) & = & - \frac{y_{21}}{det(Y) \cdot R_{L} + y_{11}} \\ P(\omega) & = & \frac{\left|y_{21}\right|^2 \cdot R_{L}} {y_{22} \cdot \overline{det(Y)} \cdot \left|R_{L}\right|^2 + \overline{y_{11}}y_{22} \cdot R_L + \overline{det(Y) \cdot R_L} + \overline{y_{11}}} \end{eqnarray*} \item{mit Hybridmatrix $H =\left( \begin{array}{cc} h_{11} & h_{12} \\ h_{21} & h_{22} \end{array} \right) $ gilt:} \begin{eqnarray*} F(\omega) &=& - \frac{h_{21} \cdot R_{L}} {det(H) \cdot R_{L} + h_{11}} \\ G(\omega) &=& - \frac{h_{21}}{h_{22} \cdot R_{L} + 1} \\ P(\omega) &=& \frac{\left|h_{21}\right|^2 \cdot R_{L}} {\overline{h_{22}} \cdot det(H) \cdot \left|R_{L}\right|^2 + det(H) \cdot R_L + h_{11}\overline{h_{22}} \cdot \overline{R_L} + h_{11}} \end{eqnarray*} \end{itemize} \end{document}